Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(X=r) in einer Bernoulli-Kette der Länge n?
Bernoulli Formel:
Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:
Bn,p = P(X=r) = (nr) · pr · (1 − p)n-rBeispiel 1
Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.
Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser: | ?% |
Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen: | ?% |
- Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser:
Hier handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 5 (5mal würfeln). Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gewürfelten 1er und hat die Trefferwahrscheinlichkeit p=1/6.
| = |
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
- Wahrscheinlichkeit für höchstens zweimal Quadratzahl
Hier handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 5 (5-mal würfeln). Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gewürfelten Quadratzahlen (1 und 4) und hat die Trefferwahrscheinlichkeit p=1/3. "Höchstens zweimal Quadratzahl" bedeutet keine, eine oder zwei Quadratzahlen.
P(X≤2) | = |
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
| = |
|
Beispiel 2
Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?
Hier handelt es sich um eine Bernoulli-Kette unbekannter Länge n. Die Trefferwahrscheinlichkeit ("Eins würfeln") beträgt 1/6. Damit ergibt sich:
| ≥ |
| Gegenereignis | ||||||||
| ≤ |
| |||||||||
Erläuterung zu den beiden letzten Zeilen: Das Gegenereignis von "X ≥ 1" (mindestens eins) ist "X=0" (keins). Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich bzgl. ihrer Wahrscheinlichkeit zu 1. Wenn das eine also größer oder gleich 0,8 ist, muss das andere logischer Weise kleiner oder gleich 0,2 sein.
| ≤ |
| ||||||||||||||||
| ≤ |
| ||||||||||||||||
Erläuterung: die Potenz in der Zeile oben ergibt sich durch Einsetzen von 0 in die Bernoulli-Formel + Vereinfachung.
| ≤ |
| log | |||||||||||||||||
| ≤ |
|
| |||||||||||||||||
| ≥ |
| ||||||||||||||||||
Erläuterung: Das Ungleichheitszeichen hat sich in der letzten Zeile umgedreht, da durch einen negativen Wert geteilt wurde.
n ≥8,8...
Da es nur "ganze" Würfe gibt muss also mindestens 9 mal geworfen werden.
Siehe auch
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