Was ist ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades?

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:

Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.B.

  • "Erfolg -- Nichterfolg"
  • "Treffer -- Niete"
  • "0 -- 1".
  • Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis).

Bernoulli-Kette der Länge n:

  • Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind.
  • Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit pr · qn-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist.
  • In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an.

Beispiel

Handelt es sich um eine Bernoullikette? Wenn ja, gib die Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoullikette an.

a) Ein Würfel wird vier Mal geworfen und die Augenzahl betrachtet.
b) Ein Würfel wird vier Mal geworfen und die Anzahl der geraden Zahlen notiert.

Eine Bernoullikette liegt vor, wenn ein Zufallsexperiment mehrfach unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird, die einzelnen Versuche unabhängig voneinander sind und es pro Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, nämlich „Treffer“ oder „kein Treffer“.

a)

Hier handelt es sich nicht um eine Bernoullikette.

Begründung: Bei jedem einzelnen Wurf gibt es nicht nur zwei mögliche Ergebnisse, sondern sechs mögliche Augenzahlen \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Damit ist die Bedingung „genau zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch“ nicht erfüllt.

b)

Hier handelt es sich um eine Bernoullikette, wenn man pro Wurf betrachtet, ob eine gerade Zahl fällt oder nicht.

Treffer: „Es fällt eine gerade Zahl“
Kein Treffer: Es fällt eine ungerade Zahl

Bei einem fairen Würfel sind die geraden Zahlen \(2,4,6\), also 3 von 6 möglichen Ergebnissen.

\[ p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Die Anzahl der Wiederholungen beträgt 4, also

\[ n = 4 \]
Siehe auch

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