Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoullikette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p) ist zwischen "nicht kumuliert", also P(Z=k) und "kumuliert", also P(Z≤k), zu unterscheiden.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU k Treffer:

Bn,p = P(X = k) = binompdf (n , p , k)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS k Treffer:

Fn,p = P(X ≤ k) = binomcdf (n , p , k)

Bei vielen Experimenten, z.B. Ziehen mehrerer Kugeln mit einem Griff oder hintereinander ohne Zurücklegen, liegt keine Bernoullikette vor, daher kommen hier andere Formeln zur Anwendung.

Beispiel 1
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Zu a)
Es liegt eine Bernoullikette der Länge 
n
=
5
 und Trefferwahrscheinlichkeit 
p
=
0,4
 vor. Die Zufallgröße X="Anzahl der gezogenen weißen Kugeln" ist also binomialverteilt.
P
5
0,4
 
X
=
3
=
5
3
·
0,4
3
·
0,6
2

Zu b)
Wie a), aber kumulierend:
P
5
0,4
 
X
 
≤
 
3
=
5
0
·
0,4
0
·
0,6
5
+
5
1
·
0,4
1
·
0,6
4
+
5
2
·
0,4
2
·
0,6
3
+
5
3
·
0,4
3
·
0,6
2
Alternativ kann der Wert auch aus einem Tafelwerk abgelesen oder mit Hilfe des binomcdf-Befehls bestimmt werden.

Zu c)
Da nicht zurückgelegt wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für "Weiß" von Zug zu Zug. Daher liegt keine Bernoullikette vor. Hier lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadregeln bestimmen:
P
 
w
 
w
 
w
 
w
 
w
=
4
10
·
3
9
·
2
8
·
6
7
·
5
6
Die Faktoren sind die Wahrscheinlichkeien für "weiß" bzw. "nicht weiß" auf der jeweiligen Stufe. Z.B. ergibt sich der Bruch 
2
8
 an dritter Stelle, da noch 2 weiße Kugeln von insgesamt 8 Kugeln in der Urne sind. Da man auch noch alle anderen Pfade berücksichtigen muss, bei denen "w" genau dreimal vorkommt, ist noch mit dem Faktor 
5
3
 zu multiplizieren. Also:
P
 
X
=
3
=
5
3
·
4
10
·
3
9
·
2
8
·
6
7
·
5
6

Zu d)
Ebenfalls nicht binomialverteilt. Formel für "Ziehen mit einem Griff":
P
 
X
=
3
=
4
3
·
6
2
10
5
Erläuterung: im Zähler die Anzahl der "Günstigen", d.h. "3 weiße aus insgesamt 4 weißen Kugeln" mal "2 nicht-weiße aus insgesamt 6 nicht-weißen Kugeln"; im Nenner alle Möglichkeiten, also "5 aus insgesamt 10 Kugeln".
Beispiel 2
Ein Basketballer wirft 30 Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er jeden Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 85%. Gib einen Term an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet,
a) dass er genau 20 Freiwürfe trifft.
b) dass er höchstens 25 Freiwürfe trifft.
c) dass er mindestens 15 Freiwürfe trifft.
d) dass er zwischen 10 und 20 Freiwürfe trifft.
a) Es handelt sich um eine Einzelwahrscheinlichkeit für genau 20 Freiwürfe. Mögliche Schreibweisen sind:
    \(P_{0,85}^{30}(X=20)\)
    \(\binom{30}{20}\cdot 0,85^{20}\cdot 0,15^{10}\)
    \(B(30; 0,85; 20)\)

b) Höchstens 25 bedeutet, dass mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden. Nämlich die für genau 0, 1, 2, 3, ..., 25 Treffer. Schreibweisen dafür sind:
    \(P_{0,85}^{30}(X≤25)\)
    \(F_{0,85}^{30}(25)\)
    \(\displaystyle\sum_{k=0}^{25}B(30; 0,85; k)\)


c) Mindestens 25 bedeutet, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten für 25, 26, ..., 30 Treffer addiert werden. Schreibweisen hierfür sind:
    \(P_{0,85}^{30}(X≥25)\)
    \(\displaystyle\sum_{k=25}^{30}B(30; 0,85; k)\)
Da für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit immer die Darstellung mit "≤" notwendig ist, liest man oft die Darstellung mit Hilfe des Gegenereignisses:
    \(1-P_{0,85}^{30}(X≤24)\)

d) Zwischen 10 und 20 bedeutet, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten für 10, 11, 12, ..., 20 Treffer addiert werden. Schreibweisen hierfür sind:
    \(P_{0,85}^{30}P(10≤X≤20)\)
    \(\displaystyle\sum_{k=10}^{20}B(30; 0,85; k)\)
    \(\underbrace{P_{0,85}^{30}(X≤20)}_{\text{0 bis 20 Treffer}}-\underbrace{P_{0,85}^{30}(X≤9)}_{\text{0 bis 9 Treffer}}\)
Siehe auch

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