Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel 1
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Zu a)
Es liegt eine Bernoullikette der Länge 
n
=
5
 und Trefferwahrscheinlichkeit 
p
=
0,4
 vor. Die Zufallgröße X="Anzahl der gezogenen weißen Kugeln" ist also binomialverteilt.
P
5
0,4
 
X
=
3
=
5
3
·
0,4
3
·
0,6
2

Zu b)
Wie a), aber kumulierend:
P
5
0,4
 
X
 
≤
 
3
=
5
0
·
0,4
0
·
0,6
5
+
5
1
·
0,4
1
·
0,6
4
+
5
2
·
0,4
2
·
0,6
3
+
5
3
·
0,4
3
·
0,6
2
Alternativ kann der Wert auch aus einem Tafelwerk abgelesen oder mit Hilfe des binomcdf-Befehls bestimmt werden.

Zu c)
Da nicht zurückgelegt wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für "Weiß" von Zug zu Zug. Daher liegt keine Bernoullikette vor. Hier lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadregeln bestimmen:
P
 
w
 
w
 
w
 
w
 
w
=
4
10
·
3
9
·
2
8
·
6
7
·
5
6
Die Faktoren sind die Wahrscheinlichkeien für "weiß" bzw. "nicht weiß" auf der jeweiligen Stufe. Z.B. ergibt sich der Bruch 
2
8
 an dritter Stelle, da noch 2 weiße Kugeln von insgesamt 8 Kugeln in der Urne sind. Da man auch noch alle anderen Pfade berücksichtigen muss, bei denen "w" genau dreimal vorkommt, ist noch mit dem Faktor 
5
3
 zu multiplizieren. Also:
P
 
X
=
3
=
5
3
·
4
10
·
3
9
·
2
8
·
6
7
·
5
6

Zu d)
Ebenfalls nicht binomialverteilt. Formel für "Ziehen mit einem Griff":
P
 
X
=
3
=
4
3
·
6
2
10
5
Erläuterung: im Zähler die Anzahl der "Günstigen", d.h. "3 weiße aus insgesamt 4 weißen Kugeln" mal "2 nicht-weiße aus insgesamt 6 nicht-weißen Kugeln"; im Nenner alle Möglichkeiten, also "5 aus insgesamt 10 Kugeln".
Beispiel 2
Ein Basketballer wirft 30 Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er jeden Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 85%. Gib einen Term an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet/berechne die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass er genau 20 Freiwürfe trifft.
b) dass er höchstens 25 Freiwürfe trifft.
c) dass er mindestens 15 Freiwürfe trifft.
d) dass er zwischen 10 und 20 Freiwürfe trifft.
Wie man die verschiedenen Wahrscheinlichkeitstypen mit den zugelassenen Taschenrechnern bestimmt, wird in den Videos zu dieser Beispielaufgabe gezeigt.

a) Es handelt sich um eine Einzelwahrscheinlichkeit für genau 20 Treffer. Mögliche Schreibweisen sind:
    \(P_{0,85}^{30}(X=20)\)
    \(\binom{30}{20}\cdot 0,85^{20}\cdot 0,15^{10}\)
    \(B(30; 0,85; 20)\)

Der Wert für diese Wahrscheinlichkeit beträgt gerundet 0,00672

b) Höchstens 25 bedeutet, dass mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden. Nämlich die für genau 0, 1, 2, 3, ..., 25 Treffer. Schreibweisen dafür sind:
    \(P_{0,85}^{30}(X≤25)\)
    \(F_{0,85}^{30}(25)\)
    \(\displaystyle\sum_{k=0}^{25}B(30; 0,85; k)\)


Der Wert für diese Wahrscheinlichkeit beträgt gerundet 0,47553

c) Mindestens 15 bedeutet, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten für 15, 16, ..., 30 Treffer addiert werden. Schreibweisen hierfür sind:
    \(P_{0,85}^{30}(X≥15)\)
    \(\displaystyle\sum_{k=15}^{30}B(30; 0,85; k)\)
Da für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit immer die Darstellung mit "≤" notwendig ist, liest man oft die Darstellung mit Hilfe des Gegenereignisses:
    \(1-P_{0,85}^{30}(X≤14)\)

Der Wert für diese Wahrscheinlichkeit beträgt gerundet 0,9999999

d) Zwischen 10 und 20 bedeutet, dass die Einzelwahrscheinlichkeiten für 10, 11, 12, ..., 20 Treffer addiert werden. Schreibweisen hierfür sind:
    \(P_{0,85}^{30}P(10≤X≤20)\)
    \(\displaystyle\sum_{k=10}^{20}B(30; 0,85; k)\)
    \(\underbrace{P_{0,85}^{30}(X≤20)}_{\text{0 bis 20 Treffer}}-\underbrace{P_{0,85}^{30}(X≤9)}_{\text{0 bis 9 Treffer}}\)


Der Wert für diese Wahrscheinlichkeit beträgt gerundet 0,00966
Calcoom IQ Z8 Plus Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner
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Calcoom IQ Z8 Plus Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner

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Casio fx 810DE CW Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner
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Sharp EL W550TG Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner
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TI 30X Prio MathPrint – Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner
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Geogebra Statistik Rechner Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner
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Casio fx 87DEX Binomialverteilung P(X=k), P(X≤k), P(a≤X≤b) mit dem Taschenrechner
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Beispiel 3

Ein Würfel wird zehnmal hintereinander geworfen.

A: Es fällt genau dreimal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)

B: Beim vierten Wurf fällt zum ersten Mal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)

Welches Ereignis passt jeweils zum Term? Begründe.

a) \(\displaystyle \binom{10}{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)

b) \(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^{3}\cdot\frac{1}{6}\)

Zu a)

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{10}{3}\) gibt an, auf wie viele Arten sich \(\displaystyle 3\) Treffer auf \(\displaystyle 10\) Würfe verteilen lassen. Die Treffer dürfen also an beliebigen Stellen stehen. Das passt zu \(\displaystyle \underline{\text{Ereignis A}}\text{.}\)

Zu b)

Es fehlt der Binomialkoeffizient, die Positionen der ersten vier Würfe ist fest vorgegeben: Man hat dreimal keine \(\displaystyle 6\) mit der Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle \frac{5}{6}\text{,}\) danach beim vierten Wurf eine \(\displaystyle 6\) mit der Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle \frac{1}{6}\text{.}\) Die restlichen Würfe spielen keine Rolle. Das passt zu \(\displaystyle \underline{\text{Ereignis B}}\text{.}\)

Siehe auch

Mathe-Aufgaben zu diesem Thema

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