Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoullikette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p) ist zwischen "nicht kumuliert", also P(Z=k) und "kumuliert", also P(Z≤k), zu unterscheiden.

Bei vielen Experimenten, z.B. Ziehen mehrerer Kugeln mit einem Griff oder hintereinander ohne Zurücklegen, liegt keine Bernoullikette vor, daher kommen hier andere Formeln zur Anwendung.

Beispiel
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Zu a)
Es liegt eine Bernoullikette der Länge 
n
=
5
 und Trefferwahrscheinlichkeit 
p
=
0,4
 vor. Die Zufallgröße X="Anzahl der gezogenen weißen Kugeln" ist also binomialverteilt.
P
5
0,4
 
X
=
3
=
5
3
·
0,4
3
·
0,6
2

Zu b)
Wie a), aber kumulierend:
P
5
0,4
 
X
 
≤
 
3
=
5
0
·
0,4
0
·
0,6
5
+
5
1
·
0,4
1
·
0,6
4
+
5
2
·
0,4
2
·
0,6
3
+
5
3
·
0,4
3
·
0,6
2
Alternativ kann der Wert auch aus einem Tafelwerk abgelesen oder mit Hilfe des binomcdf-Befehls bestimmt werden.

Zu c)
Da nicht zurückgelegt wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für "Weiß" von Zug zu Zug. Daher liegt keine Bernoullikette vor. Hier lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadregeln bestimmen:
P
 
w
 
w
 
w
 
w
 
w
=
4
10
·
3
9
·
2
8
·
6
7
·
5
6
Die Faktoren sind die Wahrscheinlichkeien für "weiß" bzw. "nicht weiß" auf der jeweiligen Stufe. Z.B. ergibt sich der Bruch 
2
8
 an dritter Stelle, da noch 2 weiße Kugeln von insgesamt 8 Kugeln in der Urne sind. Da man auch noch alle anderen Pfade berücksichtigen muss, bei denen "w" genau dreimal vorkommt, ist noch mit dem Faktor 
5
3
 zu multiplizieren. Also:
P
 
X
=
3
=
5
3
·
4
10
·
3
9
·
2
8
·
6
7
·
5
6

Zu d)
Ebenfalls nicht binomialverteilt. Formel für "Ziehen mit einem Griff":
P
 
X
=
3
=
4
3
·
6
2
10
5
Erläuterung: im Zähler die Anzahl der "Günstigen", d.h. "3 weiße aus insgesamt 4 weißen Kugeln" mal "2 nicht-weiße aus insgesamt 6 nicht-weißen Kugeln"; im Nenner alle Möglichkeiten, also "5 aus insgesamt 10 Kugeln".
Siehe auch

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