Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?

Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel 1
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Lösung:
  • Erste und zweite Ableitung
f '
 
x
=
−
3
4
 
x
2
+
12x
−
45
f ''
 
x
=
−
3
2
 
x
+
12
  • Wendestelle(n)
f ''
 
x
=
0
−
3
2
 
x
+
12
=
0
12
=
3
2
 
x
·
2
3
8
=
x
Tatsächlich handelt es sich um eine Wendestelle, da f '' sein Vorzeichen an dieser Stelle wechselt.
  • Gleichung der Wendetangente w im Wendepunkt W
w:
 
y
=
mx
+
t
m
=
f '
 
8
=
3
y
=
f
 
8
=
−
105, also
 
W
 
8
 
|
 
−
105
W und m oben einsetzen, um b zu bestimmen:
−
105
=
3
·
8
+
t
−
129
=
t
Die Tangente besitzt somit die Gleichung
w:
 
y
=
3
·
x
−
129
graphik
Beispiel 2
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Lösung:
  • Erste und zweite Ableitung
f '
 
x
=
−
3
4
 
x
2
+
12x
−
45
f ''
 
x
=
−
3
2
 
x
+
12
  • Wendestelle(n)
f ''
 
x
=
0
−
3
2
 
x
+
12
=
0
12
=
3
2
 
x
·
2
3
8
=
x
Tatsächlich handelt es sich um eine Wendestelle, da f '' sein Vorzeichen an dieser Stelle wechselt.
  • Gleichung der Wendetangente w im Wendepunkt W
w:
 
y
=
mx
+
b
m
=
f '
 
8
=
3
y
=
f
 
8
=
−
105, also
 
W
 
8
 
|
 
−
105
W und m oben einsetzen, um b zu bestimmen:
−
105
=
3
·
8
+
b
−
129
=
b
Die Tangente besitzt somit die Gleichung
w:
 
y
=
3
·
x
−
129
graphik
Mehr Erklärungen findest du in folgendem Video:
TANGENTENGLEICHUNG Wendepunkt – Wendetangente Gleichung bestimmen, Tangente bestimmen
Lernvideo

TANGENTENGLEICHUNG Wendepunkt – Wendetangente Gleichung bestimmen, Tangente bestimmen

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Siehe auch

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