Was versteht man unter einem Gegenereignis und welche häufige Verwechslung gibt es dabei?

Jedes Ereignis E besitzt ein Gegenereignis E, das alle anderen Ergebnisse umfasst, die die nicht zu E gehören. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört also entweder zu E oder zum E.

Achtung: Gegenereignis ≠ Gegenteil (umgangssprachlich). Das Gegenereignis von z.B. "alle Bälle weiß" (beim mehrmaligen Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Bällen) ist nicht "alle Bälle schwarz", sondern "mindestens ein Ball schwarz".

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%.

Beispiel 1
Formuliere jeweils das Gegenereignis:
Experiment Einmal Würfeln:
     A: gerade Augenzahl     B: Augenzahl kleiner als 2     C: Augenzahl 3
Experiment 5 mal hintereinander die Münze werfen:
     D: letzter Wurf Kopf     E: nur Kopf     F: mindestens zweimal Zahl
Lösung:
A
 
: ungerade Augenzahl
B
 
: Augenzahl größer oder gleich(!) 2
C
 
: Augenzahl 1, 2, 4, 5 oder 6
D
 
: letzter Wurf Zahl
E
 
: mindestens einmal Zahl     (nur Zahl ist nicht korrekt)
Erläuterung: Zum Gegenereignis von E gehören alle Ergebnisse außer KKKKK, also alle, in denen mindestens einmal Z vorkommt. Das Ergebnis nur Zahl, also ZZZZZ gehört zwar auch zum Gegenereignis, ist aber (ein beliebter Fehler) nicht mit dem Gegenereignis gleichzusetzen.
F
 
: höchstens einmal Zahl
Alternative Formulierungen sind (a) keinmal oder einmal Zahl oder (b) mindestens viermal Kopf.
Beispiel 2
Beim Würfeln mit zwei Würfeln gelten folgende gerundete Wahrscheinlichkeiten:
Augensumme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
2,8%
5,6%
8,3%
11,1%
13,9%
16,6%
13,9%
11,1%
8,3%
5,6%
2,8%
Berechne die Wahrscheinlichkeit für "Augensumme ist mindestens 4".
Zum Ereignis "Augensumme mindestens 4" gehören sehr viele Ergebnisse, nämlich Augensumme 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12.
Das Gegenereignis lautet "Augensumme kleiner als 4" oder "Augensumme höchstens 3" und umfasst deutlich weniger Ergebnisse, nämlich nur Augensumme 2 und 3.
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich zu 100%. Daher ist es hier sinnvoll, die Wahrscheinlichkeit für "Augensumme mindestens 4" über das Gegenereignis zu berechnen:
P
"Augensumme kleiner als 4"
=
P
"Augensumme 2 oder 3"
=
2,8%
+
5,6%
=
8,4%
Dann ist:
P
"Augensumme mindestens 4"
=
100%
−
P
"Augensumme kleiner 4"
=
100%
−
8,4%
=
91,6%
Siehe auch

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