Wie beeinflussen die Werte von a und b sowie ihre Modifikationen den Graphen der Funktion f(x) = b*a^x?
Ist f(x) = b·ax, so gilt für
- b>0 und a>1:
der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und steigt an (umso steiler, je größer a) - b>0 und 0<a<1:
der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und fällt (umso steiler, je kleiner a) - g(x) = −b·ax:
der Graph von g entsteht, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt - h(x) = b·(1/a)x:
der Graph von h entsteht, indem man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt
Beispiel
Skizziere die Graphen folgender Funktionen:
| = |
|
| = |
|
| = |
|
| = |
|
| = |
|
Wo ergeben sich welche Symmetrien? Welche Funktion wächst am stärksten?
Bei f, g und k liegt exponentielles Wachstum vor (Wachstumsfaktor a jeweils größer als 1), also steigen die zugehörigen Graphen. Der Anstieg nimmt umso stärker zu, je größer a ist. Daher nimmt der Anstieg bei
am wenigsten zu
und bei
am stärksten
. Zu beachten sind auch die Anfangsbestände zum Zeitpunkt
schneidet die y-Achse in (0|2),
schneidet die y-Achse in (0|5) und
schneidet die y-Achse in (0|3).
G | g |
|
G | f |
|
x | = | 0: |
G | f |
G | g |
G | k |
Bei h liegt exponentieller Rückgang vor
, also muss
fallen. Es fällt auf, dass
der Kehrwert von
, also dem Wachstumsfaktor von k ist und dass h und k auch im Anfangsbestand 3 übereinstimmen. Daher ergibt sich
aus
durch Spiegelung an der y-Achse.
|
G | h |
3 |
4 |
4 |
3 |
G | h |
G | k |
Schließlich ergibt sich
aus
durch Spiegelung an der x-Achse, da
.
G | i |
G | f |
| = |
|
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Exponentialfunktionen
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