Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
- a > 0 der Wachstumsfaktor und
- b = f(0) der Anfangsbestand
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1 |
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| 1. Potenzgesetz | |||||||||||||||||||
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Exponentielles Wachstum, Beispiel Funktionsterm vereinfachen
Exponentielles Wachstum, Funktionsterm bestimmen, Beispiel 2
y | = |
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- Punkte ablesen und einsetzen
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- Gleichungssystem lösen
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| kürzen | |||||||||||||||||||||||
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Exponentielles Wachstum, Funktionsterm bestimmen, Beispiel 1
Ein Verein hatte im Jahr \(2015\) genau \(200\) Mitglieder, im Jahr \(2020\) nur noch \(120\text{.}\)
a) Entwickle mithilfe dieser beiden Datensätze eine exponentielle Modellfunktion \(f\) mit \(f(x)=b\cdot a^x\text{,}\) wobei \(x\) die Anzahl der Jahre seit 2015 ist. Runde \(a\) auf die vierte Dezimale.
b) Stelle der exponentiellen Modellfunktion eine lineare Modellfunktion \(g\) gegenüber, die aus denselben beiden Datensätzen gewonnen wird.
| Jahr | \(2015\) | \(2020\) |
|---|---|---|
| Mitglieder | \(200\) | \(120\) |
Zu a)
Aus dem ersten Datensatz liest man den Anfangsbestand ab: \(b=200\)
Die Modellfunktion lautet also bisher \(f(x)=200\cdot a^x\text{.}\)
Den Wachstumsfaktor \(a\) erhält man, indem man den zweiten Datensatz (\(x=5\) und \(f(5)=120\)) einsetzt und nach \(a\) auflöst:
\(120=200\cdot a^5\quad|:200\)
\(0{,}6=a^5\quad|\sqrt[5]{\phantom{x}}\)
\(a=\sqrt[5]{0{,}6}=0{,}90288\ldots\)
Die Modellfunktion lautet also \(f(x)=\underline{200\cdot 0{,}9029^x}\text{.}\)
Zu b)
Auch hier liest man den Anfangsbestand ab, er ist der \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(x)=m\cdot x+200\)
Die Steigung \(m\) erhält man mit der Steigungsformel:
\(m=\dfrac{120-200}{5-0}=-16\)
Die lineare Modellfunktion lautet also \(g(x)=\underline{-16x+200}\text{.}\)
Vergleich: Beim exponentiellen Modell nimmt die Mitgliederzahl jedes Jahr um denselben Prozentsatz ab \((1-0{,}9029\approx 9{,}7\,\%)\text{,}\) beim linearen Modell jedes Jahr um dieselbe Anzahl, nämlich \(16\) Mitglieder. Nach zwei Jahren ergibt das exponentielle Modell \(f(2)\approx 163\) Mitglieder, das lineare Modell \(g(2)=168\) Mitglieder.
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Exponentielles Wachstum - Anwendungen
Exponentielles Wachstum im Sachzusammenhang, Sachaufgaben -
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Exponentielles Wachstum/Exponentialfunktion
Unterscheidung zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsvorgängen, Parameter exponentiellen Wachstums, Exponentialfunktion (inkl. Graph), Bestimmung von Anfangsbestand und Wachstumsfaktor
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