Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?

Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen G_f und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.

Beispiel

Fertige eine Skizze an und entscheide ohne weitere Rechnung, ob der Wert des Integrals positiv, negativ oder Null ist.

a) \(\displaystyle \int_{-1}^{4}(x-1)\,dx\)

b) \(\displaystyle \int_{0}^{3}(x^2-4)\,dx\)

a) Der Wert des Integrals ist \(\displaystyle \underline{\text{positiv.}}\)

Der Graph der Integrandenfunktion ist eine Gerade mit Steigung \(1\text{,}\) die die \(y\text{-}\)Achse in \((0|-1)\) schneidet. Die Nullstelle liegt bei \(x=1\text{.}\) Im Intervall \([-1;1]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\text{-}\)Achse, im Intervall \([1;4]\) oberhalb.

Man erkennt an der Skizze: Das rote Dreieck unterhalb ist kleiner als das blaue Dreieck oberhalb. Es überwiegt also die Fläche oberhalb der \(x\text{-}\)Achse, also ist das Integral (Flächenbilanz) \(\underline{\text{positiv.}}\)

b) Der Wert des Integrals ist \(\displaystyle \underline{\text{negativ.}}\)

Der Graph der Integrandenfunktion ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel in \((0|-4)\text{,}\) die die \(x\text{-}\)Achse in \((-2|0)\) und \((2|0)\) schneidet. Im Intervall \([0;3]\) ist nur die Nullstelle \(x=2\) von Bedeutung.

Man erkennt (z.B. durch Kästchen zählen): Über \([0;2]\) liegt eine große Fläche unterhalb (rot) der \(x\text{-}\)Achse, über \([2;3]\) liegt nur eine kleine Fläche oberhalb (blau). Es überwiegt die Fläche unterhalb der \(x\text{-}\)Achse, also ist das Integral (Flächenbilanz) \(\underline{\text{negativ.}}\)

Siehe auch