Wie prüfst du rechnerisch, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?

Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Sind drei Punkte \(\displaystyle A(x_A \mid y_A)\), \(\displaystyle B(x_B \mid y_B)\) und \(\displaystyle C(x_C \mid y_C)\) gegeben, dann lässt sich prüfen, ob sie auf einer gemeinsamen Geraden liegen, indem man folgende Schritte durchläuft:

  1. Berechne die Koordinatendifferenzen:

    \(\displaystyle \Delta y = y_B - y_A\)
    und
    \(\displaystyle \Delta x = x_B - x_A\)

  2. Berechne die Steigung $m$:

    \(\displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)

  3. Berechne den $y$-Achsenabschnitt $t$:

    \(\displaystyle t = y_A - m \cdot x_A\)

  4. Setze \(\displaystyle m\) und \(\displaystyle t\) in die allgemeine Geradengleichung ein:
    \(\displaystyle y = m \cdot x + t\)
    Setze anschließend die Koordinaten des Punktes \(\displaystyle C\) ein:
    \(\displaystyle y_C = m \cdot x_C + t\)

    Erhältst du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens denselben Wert, so liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.
Beispiel 1
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?
A(1|2), B(3|8) und C(4|9)
Geradengleichung durch A und B:
Steigung m berechnen:
Δy
=
8
−
2
=
6
Δx
=
3
−
1
=
2
m
=
Δy
Δx
=
6
2
=
3
m in die Geradengleichung einsetzen:
y
=
3
·
x
+
t
Punkt A (oder B) in Geradengleichung einsetzen:
2
=
3
·
1
+
t
Nach t umstellen:
2
=
3
+
t
−
3
−
1
=
t
Geradengleichung durch A und B:
y
=
3
·
x
−
1
Punkt C einsetzen:
y
=
3
·
x
−
1
9
=
3
·
4
−
1
9
=
11
Falsche Aussage. Punkt C liegt daher nicht auf der Geraden durch A und B. Damit liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden.
Beispiel 2

Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?

\(\displaystyle A(1|2)\), \(\displaystyle B(3|8)\) und \(\displaystyle C(4|9)\)

Geradengleichung durch \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\):

Steigung \(\displaystyle m\) berechnen:

\[\Delta y=8-2=6\]

\[\Delta x=3-1=2\]

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6}{2}=3\]

\(\displaystyle m\) in die Geradengleichung einsetzen:

\[y=3x+t\]

Punkt \(\displaystyle A\) (oder \(\displaystyle B\)) in Geradengleichung einsetzen:

\[2=3\cdot 1+t\]

Nach \(\displaystyle t\) umstellen:

\[\begin{aligned}2&=3+t &|& -3\\-1&=t\end{aligned}\]

Geradengleichung durch \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\):

\[y=3x-1\]

Punkt \(\displaystyle C\) einsetzen:

\[y=3x-1\]

\[9=3\cdot 4-1\]

\[9=11\]

Falsche Aussage. Punkt \(\displaystyle C\) liegt daher nicht auf der Geraden durch \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\). Damit liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden.

Siehe auch

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