Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt - gemischte Funktionstypen, Matheaufgaben

Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten. - 13 Aufgaben in 4 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 4
  • Bestimme das Krümmungsverhalten von Gf.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
     
    x
    =
    ln
    x
    +
    1
    6
     
    x
    2
       ;   
    D
    f
    =
    D
    max
    Rechtskrümmung für
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    0
     
    <
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    0
     
    <
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    x
     
    >
     
    0
       
     
    x
     
    >
     
    3
       
     
    x
     
    >
     
    3
       
    Linkskrümmung für
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    0
     
    <
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    0
     
    <
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    x
     
    >
     
    0
       
     
    x
     
    >
     
    3
       
     
    x
     
    >
     
    3
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
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Notizfeld
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Stoff zum Thema
Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?
#514
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?
#517
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Wie erhält man die zweite Ableitung f´´ und unter welchen Bedingungen existiert sie?
#513
Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.
Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.

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