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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0- bzw. 0+, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.

Bestimme. Gib "u" bzw. "-u" für ±∞ an und "!", falls der Limes nicht existiert.

l i m
x → 1+   
 
2
1
x
=
  • Nebenrechnung

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ln(x) wächst langsamer als jede Potenzfunktion (ebenso als jede ganzrationale und gebrochen-rationale Funktion), daher strebt z.B. ln(x) : x gegen 0 (für x → ∞).
Beispiel
l i m
x → ∞   
 
ln
 
1
x
x
x
2
=
?
ex wächst schneller als jede Potenzfunktion (ebenso als jede ganzrationale und gebrochen-rationale Funktion), daher strebt z.B. ex : x gegen ∞ (für x → ∞).
Beispiel
l i m
x → -∞
 
e
x
·
x
x
2
1
=
?
ln(x) strebt
  • gegen -∞ für x → 0+
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
l i m
x → -∞
 
ln
 
1
x
2
x
+
1
=
?

Sei c eine beliebige reelle Zahl. Der Limes von f(x) für x → c- bzw. x → c+ gibt an, wie sich die Funktion in unmittelbarer Umgebung links bzw. rechts von x = c verhält.

Beispiel
Wie verhält sich f in der Umgebung der Definitionslücken?
graphik
ex strebt
  • gegen 0 für x → -∞
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
l i m
x → 1+
 
e
x
2
1
x
=
?
Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0- bzw. 0+, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.
Beispiel
Bestimme, wenn möglich:
l i m
x → 5-   
 
1
x
x
5
 
          
 
l i m
x → 5   
 
1
x
x
5
Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " lZ" und " lN" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

  • = 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
  • = lZ : lN, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
  • = ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet
Beispiel
l i m
x → -∞   
 
x
3
2
x
2
+
3x
=
?