Integral - Berechnung mit Stammfunktion, Matheaufgaben

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen - 33 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Stelle den Term zunächst so um, dass du eine der unteren Regeln anwenden kannst.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

    f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 5
  • Ergänze, so dass F Stammfunktion von f ist. Brüche in der Form "a/b" eingeben, x-Potenzen in der Form "x^n". Gib "!" ein, falls keine passenden Zahlen eingesetzt werden können.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • f
     
    x
    =
    3x
    1
    −
    x
    2
    F
    x
    =
     ▉ 
    ·
    ln
     
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 3
    g '
     
    x
    g
    x
     
    dx
    =
    ln
    g
    x
    +
    C
    Welcher Term müsste im Zähler des Bruchterms f(x) stehen, damit die Formel oben angewendet werden kann?
    Zählerterm:
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
3
x
7
 an.
Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie findet man die Stammfunktion eines Bruchterms, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
#571
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a) 
f(x)
=
3
3x
+
1
b) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
2
+
2x
c) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
3
−
x
Diese Aufgabentypen erwarten dich in den weiteren Übungslevel:
1. Level6 Aufgaben
Integral - Berechnung mit Stammfunktion
2. Level6 Aufgaben
Integral - Berechnung mit Stammfunktion
3. Level5 Aufgaben
Integral - Berechnung mit Stammfunktion
4. Level5 Aufgaben
Integral - Berechnung mit Stammfunktion
5. Level6 Aufgaben
Integral - Berechnung mit Stammfunktion
6. Level5 Aufgaben
Integral - Berechnung mit Stammfunktion

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