Koordinatengeometrie im Raum - Geraden, Matheaufgaben

Geradengleichung in Parameterform, parallele und senkrechte Geraden, Punkt auf Gerade, Spurpunkte, Verlauf durch Oktanten, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage von zwei Geraden

Hilfe
  • Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn
    • sie durch den Ursprung geht und/oder
    • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
    • sie parallel zu einer Achse verläuft oder
    • ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
    • ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.
    Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x12-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Kreuze die Beschreibung an, die die Gerade am besten charakterisiert.

  • g
    :
    X
    =
    −
    2
    0
    0
    +
    μ
    ·
    0
    1
    1
     
    ist eine Ursprungsgerade
    ist parallel zur   
     
    x
    1
    −
    Achse
     
       
     
    x
    2
    −
    Achse
     
       
     
    x
    3
    −
    Achse
    ist echt parallel zur   
     
    x
    1,2
    −
    Ebene
     
       
     
    x
    1,3
    −
    Ebene
     
       
     
    x
    2,3
    −
    Ebene
    liegt in der   
     
    x
    1,2
    −
    Ebene
     
       
     
    x
    1,3
    −
    Ebene
     
       
     
    x
    2,3
    −
    Ebene
     
    ist von der x
    1
    −
    und der x
    3
    −
    Achse gleich weit entfernt
     
    ist von der x
    1
    −
    und der x
    2
    −
    Achse gleich weit entfernt
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Geraden g in Parameterform liegt?
#592
Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.
Beispiel

Gegeben ist die Gerade g. \[ g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Prüfe, ob die Punkte \( P(-1|3|5) \) und \( Q(10|-13|-1) \) auf \( g \) liegen.

Wie stellt man eine Gerade durch zwei Punkte A und B in Parameterform dar?
#591
Um die Gerade g durch die Punkte A und B in Parameterform darzustellen, kann man z.B.
  • A oder B als Aufpunkt und
  • den Verbindungsvektor von A nach B als Richtungsvektor verwenden.
Beispiel
Gib die Gerade g = AB in Parameterform an mit A(1|-1|2) und B(-2|5|5).
Welche besonderen Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und dem Koordinatensystem sind möglich und welche Rolle spielen dabei der Stützvektor und der Richtungsvektor?
#595
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn
  • sie durch den Ursprung geht und/oder
  • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
  • sie parallel zu einer Achse verläuft oder
  • ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
  • ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.
Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x12-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Geraden:
g
:
X
=
2
3
−
4
+
μ
·
1
0
−
4
k
:
X
=
1
−
2
3
+
μ
·
0
0
3
 
     
 
h
:
X
=
μ
·
1
1
1
l
:
X
=
μ
·
0
1
1
 
     
 
i
:
X
=
μ
·
1
3
0
m
:
X
=
μ
·
2
7
9
Wie bestimmt man die Spurpunkte einer Geraden in Parameterform?
#593
Um den evtl. Schnittpunkt (Spurpunkt) einer Geraden mit der x1x2-Ebene zu bestimmen, muss man innerhalb der Geradengleichung (Parameterform) x3 = 0 setzen.

Entsprechend setzt man x1 = 0, um den Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene zu bestimmen und x2 = 0 für den Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene.

Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1,5
−
1,5
1
+
μ
·
−
1
3
2
 
.
Bestimme sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.
Wie bestimmt man die Oktanten, durch die eine Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem verläuft?
#594
Um zu ermitteln, durch welche Oktanten eine Gerade verläuft, sollten zunächst die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen) bestimmt werden.
Beispiel
Durch welche Oktanten verläuft die Gerade g: 
X
=
1
2
−
2
+
μ
·
2
−
1
4
 ?
Eine Geradengleichung lässt sich auch dann aufstellen, wenn keine festen Koordinaten vorgegeben sind. Alle weiteren Rechnungen erfolgen dann mit Hilfe der verwendeten Platzhalter (Buchstaben).
Beispiel
Gegeben ist eine Pyramide durch die Punkte A, B, C und S (siehe Skizze). D und E sind Seitenmitten.
  1. Bestimme für die Gerade DE eine Gleichung in Parameterform, wobei diese nur mit A, B, C und S ausgedrückt werden soll.
  2. Zeige, dass DE parallel zur Grundfläche der Pyramide verläuft.
Der Strahlensatz soll bei dieser Aufgabe NICHT angwandt werden.
Skizze:
 
graphik

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