Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion mit Zähler- und Nennergrad höchstens 2 aus ihrem Graphen ab?
Die Nullstellen des Graphen sind die Nullstellen des Zählers des Funktionsterms.
Die Polstellen des Graphen sind die Nullstellen des Nenners des Funktionsterms. Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, ist der Nennergrad gerade, bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist er ungerade.
Wenn der Graph die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote hat, gilt: Zählergrad < Nennergrad.
Wenn der Graph eine waagrechte Asymptote hat, die nicht die \(x\)-Achse ist, dann gilt Zählergrad = Nennergrad. Außerdem kann man aus der Gleichung der Asymptoten die Leitkoeffizienten ablesen: \(y=\frac{a}{b} \Rightarrow f(x)=\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{b(x - p_1)(x - p_2)}\)
Bestimme einen möglichen Term zum Graphen. Zähler- und Nennergrad sind höchstens \(2\).
Nullstelle: Der Graph hat eine Nullstelle bei \(x=1\text{.}\) Somit muss der Funktionsterm bei \(\colorbox{Green}{$x=1$}\) eine\(\colorbox{Green}{Zähler-Nullstelle}\) besitzen.
Senkrechte Asymptote / Polstelle: Der Graph hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=-1 \text{.}\) Somit muss der Funktionsterm bei \(\colorbox{orange}{$x=-1$}\) eine \(\colorbox{orange}{Nenner-Nullstelle}\) besitzen. Da es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel handelt, muss der Nennergrad ungerade sein. Laut Aufgabenstellung ist der Nennergrad höchstens 2, somit ist der Exponent im Nenner \(\colorbox{yellow}{$1$}\text{.}\)
Waagrechte Asymptote: Der Graph hat eine waagrechte Asymptote bei \(y=1{,}5=\frac{3}{2} \text{,}\) wodurch sich \(\colorbox{cyan}{die Faktoren}\) im Zähler und Nenner ergeben. Da hier nicht die \(x\text{-Achse}\) die waagrechte Asymptote ist, muss gelten: Zählergrad \(= \text{Nennergrad.}\) Somit ist der Exponent im Zähler \(\colorbox{magenta}{$1$}\).
\(\Rightarrow f(x)=\frac{\colorbox{cyan}{$3$}(x\colorbox{Green}{$-1$})^\colorbox{magenta}{$1$}}{\colorbox{cyan}{$2$}(x\colorbox{orange}{$+1$})^{\colorbox{yellow}{$1$}}}\)