Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?

  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    -f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

    • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

    -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
    • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel 1
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
5x
2
x
2
+
2
b) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2
Zu a)
  • Achsensymmetrie zur y-Achse?
Kriterium:
f
 
x
=
f
 
−
x
f
 
x
=
5x
2
x
2
+
2
f
 
−
x
=
5
·
−
x
2
−
x
2
+
2
=
5x
2
x
2
+
2
=
f(x)
Also gilt:
f
 
−
x
=
f
 
x
Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
graphik
Zu b)
  • Achsensymmetrie zur y-Achse?
Kriterium:
f
 
x
=
f
 
−
x
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2x
f
 
−
x
=
5
·
−
x
2
−
x
3
+
2
·
−
x
=
5x
2
−
x
3
−
2x
Man sieht, dass 
f
 
−
x
 nicht gleich 
f
 
x
 ist. Also ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

  • Punktsymmetrie zum Ursprung?
Kriterium:
f
 
−
x
=
−
f
 
x
f
 
−
x
=
5x
2
−
x
3
−
2x
=
5x
2
−
1
·
x
3
+
2x
=
−
1
·
5x
2
x
3
+
2x
=
−
1
·
f
 
x
=
−
f
 
x
Also gilt:
f
 
−
x
=
−
f
 
x
Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
graphik
Zu c)
  • Achsensymmetrie zur y-Achse?
Kriterium:
f
 
x
=
f
 
−
x
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2
f
 
−
x
=
5
·
−
x
2
−
x
3
+
2
=
5x
2
−
x
3
+
2
Man sieht, dass 
f
 
−
x
 nicht gleich 
f
 
x
 ist. Also ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

  • Punktsymmetrie zum Ursprung?
Kriterium:
f
 
−
x
=
−
f
 
x
f
 
−
x
=
5x
2
−
x
3
+
2
−
f
 
x
=
−
5x
2
x
3
+
2
Man sieht, dass 
f
 
−
x
 nicht gleich 
−
f
 
x
 ist. Also ist der Graph nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph der Funktion ist also weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
graphik
Beispiel 2
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
x
−
2
·
x
+
2
b) 
f
 
x
=
−
0,4x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
0,1x
−
0,3
·
0,5
−
2x
Zu a)
Um Aussagen über die Symmetrie des Graphen treffen zu können, muss man den Funktionsterm ausmultiplizieren:
f
 
x
=
x
−
2
·
x
+
2
=
x
2
−
4
    (3. binomische Formel)
Der Funktionsterm enthält nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen:
f
 
x
=
x
2
−
4
·
x
0
Also ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
graphik
Zu b)
Der Funktionsterm enthält nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen:
f
 
x
=
−
0,4x
3
+
2x
1
Also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
graphik
Zu c)
Um Aussagen über die Symmetrie des Graphen treffen zu können, muss man den Funktionsterm ausmultiplizieren:
f
 
x
=
0,1x
−
0,3
·
0,5
−
2x
=
0,05x
−
0,2x
2
−
0,15
+
0,6x
=
−
0,2x
2
+
0,65x
−
0,15
   
Der Funktionsterm enthält x-Potenzen mit geraden und ungeraden Hochzahlen:
f
 
x
=
−
0,2x
2
+
0,65x
1
−
0,15
·
x
0
Also ist der Graph weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
(Hinweis: Das heißt aber nicht, dass er gar keine Symmetrie aufweist. Am Schaubild erkennt man, dass der Graph achsensymmetrisch ist und die Symmetrieachse durch den Scheitel verlaufen muss.)
graphik
Siehe auch

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