Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz - Aufgaben

Winkel, Seiten und Flächen in beliebigen Dreiecken berechnen; auch Anwendungsaufgaben

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  • Gegeben ist das Dreieck ABC. Es gilt: c = 11 cm, b = 7 cm und α = 65°
    1. Skizziere das Dreieck mit GeoGebra, berechne dann die fehlenden Seitenlängen und Innenwinkelmaße sowie die Höhe hc.
       
     
    a
     
    ≈
     
     
          
     
    β ≈
     
     
       
     
    γ ≈
     
     
          
     
    h
    c
     
    ≈
     
    2. Eine Parallele p zur Strecke c im Abstand 3 cm schneidet die Strecke b im Punkt P und die Strecke a im Punkt Q. Berechne die Länge der Strecke von p.
        
     
    p
     
    ≈
     
    3. Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks PQC am Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
        
     
    A
    PQC
    A
    ABC
     
    ≈
     
     
    %
    GeoGebra
    GeoGebra
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.
  • Zeichne das Dreieck ABC. Es gilt: c = 11 cm, b = 7 cm und α = 65°.
  • Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
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Gemäß dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche eines beliebigen Dreiecks:

A = 0,5 · a · b · sin(γ) = 0,5 · a · c · sin(β) = 0,5 · b · c · sin(α)

Man benötigt für die Flächenbestimmung also die Längen zweier (beliebiger) Seiten und deren Zwischenwinkel.
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Kosinussatz gilt:

a² = b² + c² − 2bc · cos(α)

b² = a² + c² − 2ac · cos(β)

c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)

Am besten, man merkt sich den Satz so:

"(beliebige) Seite zum Quadrat = Summe der anderen beiden Seitenquadrate minus 2 mal Produkt dieser Seiten mal cos vom Zwischenwinkel"

Beispiel
Das folgende Video zeigt anhand eines Beispiels, wie man den Kosinussatz anwendet.

In Sachaufgaben kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Suche in der Figur nach Dreiecken mit mindestens drei gegebenen Stücken. (Tipp: Markiere in einer Skizze die gegebenen Stücke grün und die gesuchten Stücke rot.)
  2. Je nach Art der gegebenen Stücke kannst du nun den Sinus- oder den Kosinussatz verwenden:
    • Eine Strecke und zwei Winkel gegeben: Der dritte Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme, die fehlenden Strecken aus dem Sinussatz.
    • Zwei Strecken und der Zwischenwinkel gegeben: Die dritte Strecke ergibt sich aus dem Kosinussatz, die fehlenden Winkel aus dem Sinussatz.
    • Zwei Strecken und ein anderer Winkel gegeben: Die weiteren Winkel ergeben sich aus dem Sinussatz und der Winkelsumme, die fehlende Strecke aus dem Kosinussatz.
    • Drei Strecken gegeben: Ein Winkel kann mit dem Kosinussatz berechnet werden, die restlichen mit dem Sinussatz bzw. aus der Winkelsumme.
Tipp: In rechtwinkligen Dreiecken werden Sinus- und Kosinussatz nicht benötigt, da du einfacher mit dem Sinus, Kosinus und Tangens bzw. dem Satz von Pythagoras arbeiten kannst.
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Sinussatz gilt:

sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

Beispiel
Das erste Beispiel in folgendem Video zeigt, wie man den Sinussatz anwendet.
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1. Level3 Aufgaben
Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz
2. Level5 Aufgaben
Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz
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Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz
4. Level5 Aufgaben
Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz
5. Level4 Aufgaben
Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz
6. Level5 Aufgaben
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7. Level5 Aufgaben
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8. Level4 Aufgaben
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9. Level2 Aufgaben
Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz

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