Was versteht man unter Asymptoten und wie werden sie dargestellt?

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:

  • "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
  • "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
Beispiel 1
Bestimme alle waagrechten und senkrechten Asymptoten des Graphen und gib ihre Gleichungen an.
graphik
Lösung:
  • waagrechte Asymptote
Wie verhält sich der Graph für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte (also an den "Rändern")? Offensichtlich schmiegt er sich an die waagrechte Gerade mit der Gleichung 
y
=
−
2
 an. Er kommt dieser Geraden beliebig nahe, wenn man nur weit genug nach rechts oder links geht.
  • senkrechte Asymptote
Wie man sieht, schmiegt sich der Graph auch der y-Achse an, genauer: Für x-Werte nahe 0 werden die zugehörigen y-Werte beliebig groß bzw. beliebig klein. Die y-Achse mit der Gleichung 
x
=
0
 ist also eine senkrechte Asymptote des Graphen.
graphik
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
6
x
+
2
+
1.
Fülle die Lücken in der Wertetabelle aus und gib die Gleichung der Asymptote an, die man daraus erkennen kann.
x
0
−
1
−
1,9
−
1,97
−
1,994
f(x)
x
0
−
1
−
1,9
−
1,97
−
1,994
f(x)
4
7
61
201
1001
Wenn man x-Werte einsetzt, die dem Wert 
x
=
−
2
 immer näherkommen, wächst der Betrag der zugehörigen y-Werte stark an. Der Graph von f nähert sich also der senkrechten Asymptote mit der Gleichung 
x
=
−
2
 an.
Siehe auch

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