Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion aus ihrem Graphen ab?

Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Beispiel
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form 
f(x)
=
a
x
+
b
+
c
 schließen, indem man …
  • … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
  • … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
  • … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
  • … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.
Lösung:
graphik
  • Ablesen der Asymptoten:
Der Graph besitzt die Asymptoten mit den Gleichungen 
x
=
1
 und 
y
=
1,5.
Daraus ergeben sich die Werte 
b
=
−
1
 und 
c
=
1,5
 und man kann schreiben:
f(x)
=
a
x
−
1
+
1,5
  • Bestimmung von a mithilfe eines Punkts des Graphen:
Der Graph verläuft durch den Punkt 
3,5
 
|
 
1
, es gilt also 
f(3,5)
=
1.
Einsetzen ergibt:
a
3,5
−
1
+
1,5
=
1
−
1,5
a
2,5
=
−
0,5
·
2,5
Es folgt: 
a
=
−
1,25
  • Aufstellen des passenden Funktionsterms:
f(x)
=
−
1,25
x
−
1
+
1,5
Siehe auch

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