Wie beeinflussen die Parameter b und c den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion y=a/(x+b)+c?

Der Parameter b im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/(x+b)+c bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse, der Parameter c eine Verschiebung entlang der y-Achse (siehe Beispiel).

Beispiel 1

Den Graphen der Funktion g mit dem Term

g(x)

erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term

f(x)

durch

Verschiebung um |b| in
negative
x-Richtung, falls b
positiv
ist, bzw.
Verschiebung um |b| in
positive
x-Richtung, falls b
negativ
ist,

und durch

Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.

Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).

Aufgabenbeispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term

f(x)

hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.

Lösung:

Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch

Verschiebung um 2 nach rechts und
Verschiebung um 1 nach unten.

Der zugehörige Funktionsterm lautet

g(x)

−

Beispiel 2

Beschreibe, wie der Graph von $f$ aus dem Graphen von $g$ entsteht:

$f(x)=\frac{1}{x+1}+3$

$g(x)=\frac{1}{x-3}-1$

Der Graph von $f$ entsteht aus dem Graphen von $g\text{,}$ indem dieser um vier Einheiten in die negative $x\text{-}$Richtung und um vier Einheiten in die positive $y\text{-}$Richtung verschoben wird.

Erklärung:

$g(x)=\frac{1}{\colorbox{yellow}{$x-3$}}\colorbox{orange}{$-1$}$ $\;\longrightarrow\;$ $f(x)=\frac{1}{\colorbox{yellow}{$x+1$}}\colorbox{orange}{$+\,3$}$

$g(x)$ besitzt die senkrechte Asymptote$\colorbox{yellow}{$x=3$}\text{,} \,f(x)$ besitzt die senkrechte Asymptote$\colorbox{yellow}{$x=-1$}$. Der Graph muss also vier Einheiten in die negative $x\text{-}$Richtung verschoben werden.

$g(x)$ besitzt die waagrechte Asymptote $\colorbox{orange}{$y=-1$}\text{,} \,f(x)$ besitzt die waagrechte Asymptote $\colorbox{orange}{$y=3$}$. Der Graph muss also vier Einheiten in die positive $y\text{-}$Richtung verschoben werden.

Siehe auch