Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
  • In die Nullform bringen (... = 0) und vereinfachen
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
−
5
−
x
−
2
3
 
x
−
x
2
+
2
=
0
Umstellen (x² vorne, Konstante am Schluss)
−
x
2
−
2
3
 
x
+
2
=
0
·
−
3
 
zur Vermeidung von Brüchen
3x
2
+
2x
−
6
=
0
  • Diskriminante berechnen
a
=
3
;
b
=
2
;
c
=
−
6
D
=
2
2
−
4
·
3
·
−
6
=
76
  • Lösungen besimmen
Da D > 0, gibt es zwei Lösungen:
x
1,2
=
−
2
 
±
 
76
2
·
3
x
1,2
=
−
2
 
±
 
2
 
19
2
·
3
x
1,2
=
−
1
 
±
 
19
3
Beispiel 2
Löse die Gleichung 
2x
2
−
5x
−
7
=
0
.
Die Gleichung liegt bereits in der allgemeinen Form 
ax
2
+
bx
+
c
=
0
 vor (d.h. rechts vom "=" steht die Null und links vom "=" steht am Anfang 
…x
2
, dahinter …x und dahinter die Konstante).
  • a, b und c ablesen
a
=
2
 (der Faktor vor 
x
2
)
b
=
−
5
 (der Faktor vor 
x
)
c
=
−
7
 (die Konstante)
Beachte: das Rechenzeichen vor den Zahlen ist (als Vorzeichen gedacht) jeweils mitzunehmen!
  • Diskriminante D bestimmen
D
=
b
2
−
4
·
a
·
c
=
−
5
2
−
4
·
2
·
−
7
=
25
−
−
56
=
81
D > 0 und damit gibt es zwei Lösungen:
  • Lösungen mit MNF bestimmen
x
1,2
=
−
b
 
±
 
D
2a
=
−
−
5
 
±
 
81
2
·
2
=
5
 
±
 
9
4
x
1
=
5
+
9
4
=
3,5
x
2
=
5
−
9
4
=
−
1
Die MNF wird auch im folgendem Video genau erklärt:
Mitternachtsformel (MNF), Beispielaufgaben
Lernvideo

Mitternachtsformel (MNF), Beispielaufgaben

Kanal: Mathegym
Siehe auch

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