Wie bestimmt man das Verhalten einer gebrochen-rationalen Funktion für x gegen Unendlich?

Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " lZ" und " lN" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

  • = 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
  • = lZ : lN, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
  • = ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet
Beispiel
l i m
x → -∞   
 
x
3
−
2
x
2
+
3x
=
?
Lösung: Man klammert die größte Nennerpotenz (also x²) im Zähler wie im Nenner aus und kürzt anschließend mit dieser. Jetzt kann man -∞ an die Stelle von x setzen (in Anführungszeichen!):
l i m
x → -∞   
 
x
3
−
2
x
2
+
3x
=
l i m
x → -∞   
 
x
2
 
x
−
2
x
2
x
2
 
1
+
3
x
=
l i m
x → -∞   
 
x
−
2
x
2
1
+
3
x
=
"
 
-∞
−
0
1
+
0
 
"
=
-∞
Siehe auch

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