Was versteht man unter der Rückwärtsversion der binomischen Formeln und welchen Zweck erfüllt diese?

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel 1
Faktorisiere (wenn möglich).
49x
2
−
4
9
=
?
Überlegung: Es handelt sich um eine einfache Differenz ohne "Mittelterm", also kann man die 3. BF anwenden. Dazu sollten Minuend und Subtrahend zunächst als Quadrate dargestellt werden:
7x
2
−
2
3
2
=
7x
+
2
3
·
7x
−
2
3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a
2
+
6ab
+
9b
2
=
?
Überlegung: Wenn überhaupt, kommt die 1. BF in Frage. Das Ergebnis wäre dann:
a
2
+
6ab
+
9b
2
3b
2
=
a
+
3b
2
Mittelterm überprüfen:
2
·
a
·
3b
=
6ab
 
stimmt überein
Also
 
a
+
3b
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
u
2
−
2u
+
1
4
=
?
Überlegung: Wenn überhaupt, kommt die 2. BF in Frage. Das Ergebnis wäre dann:
u
2
−
2u
+
1
4
1
2
2
=
u
−
1
2
2
Mittelterm überprüfen:
2
·
u
·
1
2
=
u
 
stimmt nicht mit 2u überein
Also ist keine Faktorisierung mit Hilfe der BF möglich.

Das Video behandelt weitere Beispiele.
BINOMISCHE FORMELN rückwärts anwenden einfach erklärt – faktorisieren, Beispiele
Lernvideo

BINOMISCHE FORMELN rückwärts anwenden einfach erklärt – faktorisieren, Beispiele

Kanal: MathemaTrick
Beispiel 2
Löse durch Faktorisieren:
x
2
−
1
9
=
0
Lösung: Der linke Term kann mit Hilfe der 3. BF faktorisiert werden, denn
1
9
 
ist das Quadrat von
 
1
3
 
. Forme also um:
x
−
1
3
·
x
+
1
3
=
0
Nachdem ein Produkt 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist, gibt es zwei Lösungen:
x
1
=
−
1
3
 
und x
2
=
1
3
Siehe auch

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