Gebrochen rationale Terme können auch ohne faktorisierbar zu sein evtl. in ganzrationale Form gebracht werden. Gib die Bedingung dafür an. Welcher Vorteil ergibt sich daraus für das Ableiten?

Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
0,5x
f´
 
x
=
?
Lösung: Vorsicht, man darf nicht einfach den Zähler und den Nenner getrennt voneinander ableiten; das wäre eine "selbst erfundene Regel". Aber man kann den Term so umformen, dass der große Bruchstrich verschwindet.
f
 
x
=
2x
7
0,5x
−
3x
0,5x
+
5
0,5x
=
2
0,5
·
x
7
x
−
3
0,5
·
x
x
+
5
0,5
·
1
x
kürzen
=
4x
6
−
6
+
10x
−
1
f´
 
x
=
24x
5
−
0
−
10x
−
2
=
24x
5
−
10x
−
2
Um negative Exponenten zu vermeiden, kann das Ergebnis natürlich auch so geschrieben werden:
f´
 
x
=
24x
5
−
10
x
2
Siehe auch

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