Vektoren (zweidimensional), Matheaufgaben

Vektorkoordinaten berechnen, Rechnen mit Vektoren, Parallelverschiebung

Löse durch Einzeichnen in ein Koordinatensystem (auf Papier).

  • Gegeben sind die Punkte A(1|3), B(-2|5) und C(2|-4).
    Welche Koordinaten besitzt der Punkt D,
    wenn die Pfeile
     
    AB
     
    und
     
    CD
     
    den gleichen Vektor repräsentieren
     
    ?
    D
     
    |
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keine Berechtigung
Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?
#884
Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
  • Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
  • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
  • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
  • Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
 soll mit
a) 
k
=
0,5
b) 
k
=
−
2
 
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor 
A'B'
 und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?
#708
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

  • Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
  • Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke AB?
#542
Für den Mittelpunkt M(x|y) einer Strecke AB mit A(xA|yA) und B(xB|yB) gilt:

x = (xA + xB) : 2
y = (yA + yB) : 2

Beispiel
Berechne den Mittelpunkt der Strecke [PQ], wenn P(2|5) und Q(4|1) ist.
M
 
2
+
4
2
 
|
 
5
+
1
2
M
 
3
 
|
 
3
Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?
#885
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
  • Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
  • Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
  • Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
  • Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
Beispiel 2
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1), 
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
Beispiel 3
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1), 
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
Wie ermittelt man den Vektor einer einzelnen Parallelverschiebung, die zwei hintereinanderfolgenden Parallelverschiebungen entspricht?
#541
Die Verknüpfung von zwei Parallelverschiebungen kann durch eine einzige Parallelverschiebung ersetzt werden. Der neue Verschiebungsvektor errechnet sich aus der Summe der beiden ursprünglichen Vektoren.
Beispiel
Gegegeben sind die Vektoren
 
v
1
=
3
2
 
und
 
v
2
=
−
4
4
 
.
Zwei Parallelverschiebungen hintereinander mit diesen beiden Vektoren können ersetzt werden durch eine Parallelverschiebung mit dem Summenvektor:
v
=
v
1
 
⊕
 
v
2
v
=
3
2
 
⊕
 
−
4
4
v
=
−
1
6
Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?
#886
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
  • Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
  • Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
  • Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Parabel 
p: y
=
x
2
−
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?
Beispiel 2
Die Gerade 
g: y
=
−
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?

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