Stammfunktion - Matheaufgaben und Online-Übungen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1

Ergänze so, dass F eine vereinfachte Stammfunktion von f ist. Brüche sind in der Form a/b zu schreiben.
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Stoff zum Thema (+Video)

Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?

#570

Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xⁿ dx = 1 / (n + 1) · x^{n + 1} + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel

Gib eine Stammfunktion für

an.

Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?

#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. G_F	f (x)
streng monoton steigend	> 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend	< im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente)	= 0

Was versteht man unter der "Ableitungskette" in Bezug auf Funktionen und ihre Graphen?

#402

Hinsichtlich f, F (Stammfunktion von f) und f´ gilt also die "Ableitungskette"

F → f → f´

Ihre Graphen stehen in folgendem Zusammenhang:

F bzw. f	f bzw. f´
streng monoton steigend	verläuft oberhalb der x-Achse
streng monoton fallend	verläuft unterhalb der x-Achse
waagrechte Tangente	schneidet/berührt die x-Achse