Ableitung - Produkt- und Quotientenregel, Matheaufgaben

Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen

Hilfe
  • Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme die Ableitung und vereinfache diese so, dass dein Term unten nachgebildet werden kann.

  • f
     
    x
    =
    2x
    3
    +
    4x
    2
    −
    6
    2x
    f´
     
    x
    =
    +
    x
    Hinweis: die ersten beiden Summanden gehören ins erste Feld.
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Was besagt die Produktregel in der Differentialrechnung?
#330
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Beispiel
f
 
x
=
−
x
2
·
sin(x)
f '
 
x
=
?
Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
cos
e
x
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
1
−
3x
·
sin
x
f '
 
x
=
?
Was besagt die Quotientenregel in der Differentialrechnung?
#331
Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2

Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
f
 
x
=
x
e
x
+
x
Wie lauten die Produkt- und Quotientenregel der Ableitung?
#652
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
ln(x)
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
x
·
e
x
f '
 
x
=
?
Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
0,5x
f´
 
x
=
?

Mathe-Aufgaben passend zu deinem Lehrplan

Aufgaben für deinen Lehrplan
Wir zeigen dir exakt die Mathe-Übungen, die für deinen Lehrplan bzw. Bundesland vorgesehen sind. Wähle dazu bitte deinen Lehrplan.
Lehrplan wählen
Diese Aufgabentypen erwarten dich in den weiteren Übungslevel:
1. Level4 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
2. Level4 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
3. Level5 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
4. Level4 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
5. Level3 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
6. Level5 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
7. Level3 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
8. Level5 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
9. Level4 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
10. Level5 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
11. Level6 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
12. Level5 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
13. Level5 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
14. Level3 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
15. Level3 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
16. Level3 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
17. Level2 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel

Dies ist nur eine kleine Auswahl. In unserem Aufgabenbereich findest du viele weitere Mathe-Übungen, die zu deiner Schule und deinem Lehrplan passen!

Zum Aufgabenbereich