Ableitung - Produkt- und Quotientenregel, Matheaufgaben

Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen - 70 Aufgaben in 17 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Produkt-/Quotientenregel und Kettenregel kombiniert: Schreibe dir zunächst noch einmal die Ableitungsregeln für die Ableitung verketteter Funktionen und für die Ableitung von Quotienten oder Produkten auf. Ordne dann die entsprechenden Funktionsteile zu.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Kettenregel:

    Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 2 in Level 14
  • Gib die Ableitungsfunktion an. Achtung: es können mehrere Lösungen richtig sein!
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
     
    x
    =
    cos
    2
    x
    x
    2
    f ´
     
    x
    =
     
    −
    2
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    3
     
    −
    2
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    4
     
    −
    2x
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    3
     
    −
    sin
    2
    x
    ·
    x
    2
    −
    cos
    2
    x
    ·
    2x
    x
    4
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Was besagt die Produktregel in der Differentialrechnung?
#330
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Beispiel
f
 
x
=
−
x
2
·
sin(x)
f '
 
x
=
?
Wie lauten die Produkt- und Quotientenregel der Ableitung?
#652
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
e
x
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
x
·
ln(x)
f '
 
x
=
?
Was besagt die Quotientenregel in der Differentialrechnung?
#331
Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2

Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
f
 
x
=
e
x
+
x
x
Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
cos
e
x
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
cos
2
x
3x
f ´
 
x
=
?
Beispiel 3
f
 
x
=
1
−
3x
·
sin
x
f '
 
x
=
?
Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
2x
f ´
 
x
=
?
Diese Aufgabentypen erwarten dich in den weiteren Übungslevel:
1. Level4 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
2. Level3 Aufgaben
Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
3. Level5 Aufgaben
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4. Level4 Aufgaben
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5. Level5 Aufgaben
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10. Level6 Aufgaben
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