Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
    • maximale Definitionsmenge
    • Punkt- und Achsensymmetrie
    • Schnittpunkte mit der x-Achse
    • Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken
    • Verhalten im Unendlichen
    • relative Extremwerte und Monotonie

Untersuche f mit D = ℝ so weit, dass du den Graphen skizzieren kannst.

  • f
     
    x
    =
    1
    2
     
    x
    3
    3x
    2
    Diese Aufgabe kann nur schrittweise bearbeitet werden. Aktiviere die Zwischenschritte!
    Schritt 1/9
    Ist Gf symmetrisch zum KOSY?
    ja, bzgl. y-Achse
    ja, bzgl. Ursprung
    nein
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

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Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit der x-Achse
  • Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken
  • Verhalten im Unendlichen
  • relative Extremwerte und Monotonie
Beispiel 1
f
 
x
=
x
3
x
2
5x
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.
Beispiel 2
Diskutiere hinsichtlich maximaler Definitionsmenge, Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten in der Umgebung der Definitionslücke, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.
a) 
f
 
x
=
x
2
+
x
x
1
b) 
f
 
x
=
x
2
8x
+
16
x
3
x
2
12x

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
  2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
  3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
  4. Löse das Gleichungssystem
  5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).
f(x)
=
?x
2
+
?x
+
?
Beispiel
Gegeben ist die für x ∈ [-2π;2π] definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
sin
 
3
+
3
3
.
a) Untersuche den Graphen von f bzgl. Symmetrie zum Koordinatensystem.
b) Ermiitle alle Nullstellen von f.
c) Bestimme alle relativen Extrempunkte von Gf.
d) Skizziere Gf unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse.