Integral - Betrachtungen ohne Stammfunktion, Matheaufgaben

Integrale grob abschätzen und elementargeometrisch bestimmen, Streifenmethode, Integralfunktion und deren Beziehung zur Integrandenfunktion - 33 Aufgaben in 8 Levels

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    Links ist die Fläche des kleinen Streifens ("Untersumme"), rechts die Fläche des großen Streifens ("Obersumme") einzutragen.
  • Hilfe zum Thema
    Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
    • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
    • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
    • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
    Damit lässt sich abschätzen:

    Un ≤ A ≤ On

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 5
  • Berechne U1 und O1 (Unter- und Obersumme, bestehend aus jeweils nur einem Streifen) mithilfe von f(x) und schätze damit das gegebene Integral ab. Brüche in der Form "a/b" angeben (nicht runden).
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
     
    x
    =
    1
    3
    ·
    x
    −
    1
    2
    +
    1
    graphik
    <
    3
    2
    f
    x
     
    dx
    <
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?
#566
Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Was ist eine Integralfunktion und welche Eigenschaften hat sie?
#567
Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine Integralfunktion Ia die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. Ia besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
  • mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
  • sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Beispiel
graphik

\(I(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt\)

Welche Aussage ist richtig, welche falsch?

  • \(I\) ist im Intervall \( [3;+\infty[ \) streng monoton zunehmend.
  • \(I\) ist im Intervall \( [0;2]\) streng monoton abnehmend.
  • \(I\) ist im Intervall \( [0;2]\) nicht negativ.
  • \(I\) hat die stärkste Zunahme bei \(x=2\).
  • \(I\) besitzt ein relatives Maximum bei \(x=1\).
Wie kann man die Fläche zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall abschätzen und welche Fachbegriffe sind dabei relevant?
#568
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
  • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
  • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
  • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:

Un ≤ A ≤ On

Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
 
dx

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