Geometrische Orte - Randwinkelsatz - Matheaufgaben und Online-Übungen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1

Sei γ der Randwinkel und µ der Mittelpunktswinkel bzgl. einer Kreissehne. Bestimme die Winkelmaße unter folgender Bedingung:

γ ist um 20° kleiner als µ.

µ =

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Stoff zum Thema

Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):

Von jedem Punkt des sogenannten Fasskreisbogens erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (Randwinkel oder Umfangswinkel).
Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.