Gymnasium 5. Klasse Aufgaben Mathe

Bestimmung von Monotonieintervallen, relativen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte). Diskussion ganzrationaler und rationaler Funktionen

Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen; Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht; annähernde Bestimmung von Nullstellen mit dem Verfahren von Newton

Ableitungsregeln für exp und ln (natürliche Exponentialfunktion/natürliche Logarithmusfunktion), Produkte, Quotienten und Verkettungen von exp und ln mit anderen Funktionen und deren Ableitungen

Kettenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen

Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponent und ganzrationalen Funktionen (Summen- und Faktorregel); betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern

Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalem Exponent, wobei die Funktion in Potenz- oder in Wurzelschreibweise vorliegt; betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern

Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen

Ableitung von sin und cos, verbunden mit Summen- und Faktorregel

Achsen- und Punktspiegelung von Punkten und Figuren

Konstruktion von Symmetrieachse, Winkelhalbierenden, Lot, Symmetriezentrum, optional unter Verwendung von GeoGebra

Überprüfung von Ähnlichkeit (auch mit Hilfe von Vektoren), Berechnung an ähnlichen Dreiecken

Bestimmung von B(n), Proportionalitätsfaktor c, Zeitschritt n; Textaufgaben

Pascalsches Dreieck, Berechnung von Potenzen, Binomen mit Hochzahlen größer als 2

Anwendung Binomischer Formeln zum Multiplizieren von Klammertermen, Faktorisieren, Rationalmachen des Nenners

Umwandlung zwischen Grad- und Bogenmaß

Lösung mittels Graf, kreuzweiser Multiplikation bzw. Multiplikation mit dem Hauptnenner; Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben

Grund- und Definitionsmengen von Bruchtermen bestimmen und ihre Notwendigkeit begründen.

Doppelbrüche mit Variablen

Kürzen von Bruchtermen mit evtl. vorangehendem Faktorisieren, erweitern mit gegebenem oder erschließbarem Erweiterungsterm

Bruchterme addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Mittelwerte (Median, Modalwert, arithmetisches Mittel), Quartile, Maximum, Minimum, Spannweite; Erfassung von Daten in Boxplots, Interpretation von Boxplots

Untersuchung von abschnittsweise definierten Funktionen und Betragsfunktion auf Differenzierbarkeit; Zusammenhang zwischen f, f´ und F (Stammfunktion) anhand von Graphen

Konstruktion gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke sowie Bestimmung von Winkelgrößen in Drei- und Vielecken

Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Umkreis, Inkreis; Konstruktionsaufgaben

Dreiecke daraufhin überprüfen, ob sie kongruent sind bzw. eindeutig definiert; eindeutige/mehrdeutige Konstruktion von Dreiecken aufgrund vorgegebener Größen

Satz des Thales und Anwendungen, u.a. Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken und Kreistangenten sowie sowie Bestimmung von Winkelgrößen in Drei- und Vielecken

Seitenhalbierende eines Dreiecks und Schwerpunkt konstruieren; fehlenden Eckpunkt bei gegebenem Schwerpunkt bestimmen; Schwerpunkt mit Hilfe von Vektoren bestimmen

Erkennen von besonderen Eigenschaften (rechter Winkel, Achsensymmetrie, Punktsymmetrie) bei Dreiecken und Vierecken; Benennen solcher Figuren (z.B. rechtwinkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck, Parallelogramm, Raute usw.)

Unterscheidung zwischen "Je mehr, desto mehr"- und "Je mehr, desto weniger"-Zusammenhängen. Antiproportionaler Dreisatz in Anwendungsaufgaben. Unterscheidung zwischen proportional und antiproportional

Wiederholung anhand unterschiedlicher Funktionstypen: Bestimmung der Definitionsmenge, Symmetrie zum KOSY, Überprüfung, ob ein Punkt auf dem Graph liegt bzw. Bestimmung einzelner Koordinaten unter diesem Gesichtspunkt

Definitionslücken und Verhalten der Funktion in deren Umgebung, Erkennen waagrechter und senkrechter Asymptoten, Grafen ohne Wertetabelle skizzieren

Gleichungen lösen, die sich auf e^f(x)=b bzw. ln(...)=b zurückführen lassen

Verhalten für x → ∞ und für x → x₀ bei Funktionen, die sich u.a. aus exp oder ln zusammensetzen

Funktionen und Funktionsscharen, die exp oder ln enthalten, hinsichtlich D_max, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Symmetrie des Graphen zum KOSY, relativen Hoch- und Tiefpunkten und weiterer Aspekte untersuchen.

Spiegelung des Graphen an der x- und y-Achse, Verschiebung in x- und y-Richtung, Streckung und Stauchung

Exponentielles Wachstum im Sachzusammenhang, Sachaufgaben

Unterscheidung zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsvorgängen, Parameter exponentiellen Wachstums, Exponentialfunktion (inkl. Graph), Bestimmung von Anfangsbestand und Wachstumsfaktor

Beschreibung vorgegebener Größen (Länge, Fläche, Umsatz, Gewinn) mit Hife von Termen und Berechnung von Minimal- oder Maximalwerten (Optimierung).

Flächen von Dreiecken und anderen Vielecken mit Hilfe der Determinante (einer 2x2-Matrix) berechnen

Funktionale Abhängigkeit im Koordinatensystem: Änderungen des Flächeninhalts durch Verlängern/Verkürzen von Seiten etc.

Funktionale Zusammenhänge erfassen und beschreiben mit Tabellen, Diagrammen und Termen

Eigenschaften von Funktionsscharen in Abhängigkeit vom Scharparameter

Verhalten im Unendlichen; Skizze des Graphen anhand von Grad und Leitkoeffizient, Symmetrie zum Koordinatensystem

Nullstellen und ihre Vielfachheit aus dem Funktionsterm ablesen und graphisch interpretieren

Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Satz von Vieta, Substitution, Polynomdivision

Lineare 3x3-Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß-Verfahrens lösen

Bestimmung und Klassifizierung von Polstellen; Erkennen behebbarer Definitionslücken, senkrechter, waagrechter und schräger Asymptoten; Zeichnung des Graphen; Ermittlung gebrochen-rationaler Funktionen aufgrund vorgegebener Eigenschaften

Tangenten zeichnen bzw. konstruieren

Bestimmung einzelner Winkel an Geraden- und Parallelenkreuzungen, in Dreiecken und in Figuren mit mehr als drei Ecken; Innenwinkelsumme im Dreieck und in Vielecken

Kenntnis des Randwinkelsatzes und Konstruktion des Fasskreisbogen (-paars). Bestimmung von Rand- und Mittelpunktswinkel

Unterschiedliche (nichtquadratische) Gleichungstypen, die sich durch Substitution in eine quadratische Gleichung umwandeln lassen

Veränderungen des Funktionsterms und Auswirkungen auf den Funktionsgraphen

Ebenen im Raum, parallele und senkrechte Lagebeziehung im Raum

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen

Integrale grob abschätzen und elementargeometrisch bestimmen, Streifenmethode, Integralfunktion und deren Beziehung zur Integrandenfunktion

Bestimmung von Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Graphen, auch in Abhängigkeit von Parametern

Lösung einfacher Ungleichungen über den Grundmengen ℕ und ℚ₀⁺. Darstellung der Lösungemenge in Intervall- und Mengenschreibweise.

Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhalbierende in Anwendungssituationen

Dreieckskonstruktionen, unter anderem auch von speziellen Dreiecken (rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig)

Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Lot, Höhe, Inkreis, Umkreis, Höhenschnittpunkt, Thaleskreis

Vierecke, darunter Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck nach vorgegebenen Maßen konstruieren

Ebene durch drei Punkte, Ebene durch zwei Geraden, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade

Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen Punkt und Gerade, zwischen Punkt und Ebene, zwischen zwei windschiefen Geraden

Ebene durch drei Punkte, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade, gegenseitige Lage Ebene - Ebene, Lotgerade und Lotebene, Spiegelung an Gerade/Ebene

Geradengleichung in Parameterform, parallele und senkrechte Geraden, Punkt auf Gerade, Spurpunkte, Verlauf durch Oktanden, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage von zwei Geraden

Bestimmung der Lagebeziehung zweier Geraden (identisch/echt parallel, sich schneidend oder windschief).

Kugelgleichung in Vektor- und Koordinatendarstellung, Lage eines Punktes (innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel)

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren, Linearkombination und Länge von Vektoren

Berechnung von Skalarprodukt, Winkel, Vektorprodukt zweier Vektoren, Anwendungen (Orthogonalität, Dreiecksflächen, Spatvolumen, Pyramidenvolumen etc.)

Abstand, Winkel, Lagebeziehung, Fläche und Volumen sowie Spiegelung geometrischer Objekte (Punkt, Gerade, Ebene, Kugel, Pyramide, Prisma) in vermischten Aufgaben und Anwendungen - von Standardverfahren hin zu anspruchsvollen Problemstellungen

Bestimmung von Bogenlänge und Fläche eines Kreissektors, Berechnungen an Figuren, die elementare Kreisteile enthalten

Zusammenhang zwischen Radius, Umfang und Fläche eines Kreises; Umfang und Fläche von Figuren, die sich aus Kreisteilen zusammensetzen

Ganzrationale, gebrochen-rationale, trigonometrische und verkettete Funktionen: Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Monotonie, Hoch- und Tiefpunkte

Verhalten einer Funktion für x gegen Unendlich (x → ∞), Limesbestimmung bei einfachen Funktionstermen und anhand von Graphen; Bestimmung des Schwellenwerts bei vorgegebenem ε

Graphische Darstellung linearer Funktionen (Steigung und y-Achsenabschnitt), zeichnerische Schnittpunktbestimmung, graphisches Lösen von linearen Gleichungen, Textaufgaben

Überprüfung, ob Punkt auf Gerade liegt, Gleichung der Gerade durch zwei Punkte bzw. durch einen Punkt mit vorgegebener Steigung, Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten mehrerer Geraden; Textaufgaben

Steigung ablesen, Steigung der orthogonalen Geraden bestimmen, Punkte auf der Geraden vervollständigen

Systematisches Lösen linearer Gleichungen durch Äquivalenzumformung; Beachtung der Grundmenge

Textaufgaben, die per Aufstellen einer geeigneten linearen Gleichung zu lösen sind.

Systematisches Lösen linearer Gleichungen, die Brüche und gemischte Zahlen enthalten, durch Vereinfachung und Äquivalenzumformung

Prüfen/Ergänzen von Wertepaaren, Auflösen nach y

Erkennen, wann eine Gleichung/Ungleichung linear ist; Äquivalenzumformungen auf Korrektheit überprüfen

Lineare Gleichungssysteme graphisch und mit Hilfe von Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren lösen; Sonderfälle und ihre graphische Interpretation

Textaufgaben, die sich mittels linearer Gleichungssysteme lösen lassen (z.B. Mischaufgaben)

Lineare Gleichungssysteme in Abhängigkeit von Parametern

Rechnerische und grafische Lösung linearer Ungleichungen; Mengen- und Intervallschreibweise

Einfache Exponentialgleichungen (Benutzung des Taschenrechners), Vereinfachung logarithmischer Terme mit Hilfe von Rechenregeln

Berechnung von mittleren und lokalen (momentanen) Änderungsraten mittels Steigungsdreieck und Differenzenquotient bzw. Differentialquotient

Bestimmung der n-ten Wurzel ohne Taschenrechner, Gleichungen der Art ax^n=b lösen, insbesondere Anzahl der Lösungen

Nullstellenbestimmung/Faktorisierung mittels Polynomdivision

Potenzen in die Normdarstellung/wissenschaftliche Schreibweise umwandeln

Als Basis kommen hier auch irrationale Zahlen, als Exponent auch negative Brüche vor.

Potenzen mit negativer Hochzahl richtig interpretieren und berechnen

n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung

Funktionen mit Funktionsterm a·xⁿ; Bestimmung der Parameter

Definitionsmenge, Graph und Umkehrfunktion von Potenzfunktionen mit rationalem Exponent

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten zusammenfassen bzw. vereinfachen

Potenzen mit rationalen Exponenten zusammenfassen bzw. vereinfachen

Einfache Potenzgleichungen und -ungleichungen lösen

Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen, grafische Veranschaulichung

Lösung mittels der Gleichung "GW · PS = PW" → Auflösen nach der Unbekannten.

Gestreckte und gestauchte Parabeln, Bestimmung von Parametern (insbesondere Formparameter) anhand des Grafen, leichte Scheitelbestimmung

Wertetabelle, x-Werte bestimmen, Verschiebungen in x- und in y-Richtung, Zusammenhang mit Parametern

Durch vorgegebene Punkte oder anhand der gezeichneten Parabel sind a, b und c mittels Geichungssystem zu bestimmen.

Minimum und Maximum anhand von Grafiken ablesen können, quadratische Gleichungen in die Scheitelform umwandeln können (quadratische Ergänzung) und rechnerisch den Scheitelpunkt ermitteln; Extremwertaufgaben/Optimierungsaufgaben

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen, u.a. mit Lösungsformel; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können

Graphische Interpretation quadratischer Gleichungen; Bestimmung der Schnittpunkte von Parabeln bzw. Parabel und Gerade; Parameterbestimmung in Abhängigkeit von der Anzahl gemeinsamer Punkte

Bestimmung einfacher Quadratwurzeln, Erkennen irrationaler Zahlen, annähernde Bestimmung mit dem Heron-Algorithmus, Vorzeichenbetrachtung bei Variablen unter der Wurzel

Teilweises Wurzelziehen; Produkte, Summen und Differenzen aus Wurzeltermen vereinfachen

Rechnen mit Quadratwurzeln unter Anwendung des D-Gesetzes, auch mit Variablen

Anwendung Binomischer Formeln zum Multiplizieren von Klammertermen, Faktorisieren, Rationalmachen des Nenners

Rationalmachen des Nenners mittels Erweitern mit einer Quadratwurzel oder unter Anwendung der dritten binomischen Formel mit einer Summe oder einer Differenz von Quadratwurzeln

Innermathematische und sachbezogene Anwendungsaufgaben zu den räumlichen Körpern Prisma, Pyramide, Zylinder und Kegel (in Bezug auf Volumen, Oberfläche, Winkel und Streckenlängen)

Berechnung von Volumen, Höhe und Oberfläche auf der Grundlage angegebener Größen

Volumen und Oberfläche der Kugel, Gleichsetzungsaufgaben unter Einbezug von Zylinder und Kegel; Textaufgaben

Oberfläche und Volumen von Prisma und Zylindern; Bestimmung von O, V, r und h.

Bestimmung von Volumen, Oberfläche, Höhe, einzelnen Kantenlängen und Winkeln zwischen Kanten und Höhe/Gundfläche; Berechnungen am Pyramidenstumpf

Unterscheidung der Mengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ; Lösungen unterschiedlicher Gleichungstypen der jeweils passenden Menge zuordnen

Längenberechnungen am rechtwinkligen Dreieck und Konstruktion irrationaler Zahlen/Figuren mit Hilfe der Satzgruppe des Pythagoras

Wahrscheinlichkeit von Oder-Ereignissen

Anwenden der Pfadregeln, Unterscheidung zwischen unbedingter und bedingter Wahrscheinlichkeit, Berechnung (bedingter) Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Kennzeichen eines Bernoulliexperiments und einer Bernoulli-Kette, Bestimmung der zugehörigen Parameter, Binomialverteilung bei vorgegebenen Parametern, Textaufgaben

Ergebnisraum und Mächtigkeit eines Zufalssexperiments, u.a. mit Hilfe des Baumdiagramms bestimmen; Ereignisse in aufzählender und beschreibender Form

Zusammenhang von n, p, μ und σ bei binomialverteilten Zufallsgrößen; Bestimmung von p aus dem Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung; Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens σ, 2σ usw. vom Erwartungswert abweicht

Wahrscheinlichkeit bei Laplace-Experimenten, u.a. mit Hilfe des Zählprinzips bestimmen

Mehrstufige Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit Hilfe der ersten und zweiten Pfadregel, auch unter Ausnutzung von Gegenereignissen

Nullhypothe und Gegenhypothese, Annahme- und Ablehnungsbereich, Fehler 1. und 2. Art, einseitiger Signifikanztest

Überprüfung auf Unabhängigkeit zweier Ereignisse und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter der Voraussetzung "Unabhängigkeit"

Laplace-Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Zählprinzips bestimmen

Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen bestimmen; Textaufgaben

Darstellung zusammengesetzter Ereignisse mittels Sprache, Diagrammen und Mengenschreibweise.

Darstellung mit Prozessdiagramm und Übergangsmatrix, Rechnen mit Prozessdiagrammen, stochastische Matrix erkennnen

Multiplikation von Matrix mit Vektor, Einträge der Übergangsmatrix interpretieren, Zustandsverteilung der Vergangenheit berechnen

Matrizen-Multiplikation, Zustandsverteilung nach vielen Schritten, Berechnungen mit dem GTR, Grenzverhalten

Berechnungen an der X- und V-Figur, Nachweis von Parallelität mit Hilfe des Strahlensatzes

Rechteck, Quadrat, Raute, Parallelogramm, Drachenviereck, Trapez: Definition und Differenzierung, Ergänzung gegebener Punkte zu einer bestimmten Figur (rein zeichnerisch und durch Konstruktion)

T teilt Strecke s in einem bestimmten Verhältnis r; bestimme je nach gegebenen Größen T, r oder Streckenendpunkt

Terme aufstellen, interpretieren, mit ihnen argumentieren und sie grafisch veranschaulichen

Berechnung von Termwerten bei Termen mit maximal 2 Variablen

Terme faktorisieren durch Ausklammern

Multiplikation und Division von Summen: (a+b) · c und (a+b) : c

Multiplikation und Division von Summen: (a+b) · (c+d)

Auflösen von Plus- und Minusklammern sowie von Klammern bei Potenzen

Multiplikation und Division von einfachen Variablentermen. Addition und Subtraktion von gleichartigen Termen

Abwandlungen der normalen Sinus- und Kosinuskurve (bzgl. Amplitude, Periode, Verschiebung in x- und y-Richtung)

Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen

Winkel, Seiten und Flächen in beliebigen Dreiecken berechnen; auch Anwendungsaufgaben

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens; Textaufgaben

Trigonometrische Gleichungen lösen

Graph, Term und Definitionsmenge der Umkehrfunktion bestimmen; auf Umkehrbarkeit prüfen bzw. Definitionsmenge entsprechend einschränken

Vektorkoordinaten berechnen, Rechnen mit Vektoren, Parallelverschiebung

Wenn-Dann-Form aufstellen, Voraussetzung und Behauptung erkennen, vom Satz zum Kehrsatz gelangen, den Wahrheitsgehalt von Aussagen prüfen, mathematische Aussagen beweisen und widerlegen

Zentrische Streckung einer Figur bei gegebenem Zentrum Z und Streckungsfaktor k. Ermittlung von Z und k anhand gegebener Figur und Bildfigur; Eigenschaften der zentrischen Streckung

Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten.